Mentre la maggioranza dei giochi di Filicaia trova riscontro nel De viribus quantitatis di Pacioli (parti I, II, III) o nei Ludi di Leon Battista Alberti (parte IV) ci sono alcuni che non sono registrati in quelle opere.
Si può trattare di giochi o assenti dal manoscritto di Pacioli per ragioni filologiche (in Pacioli mancano diversi giochi segnalati nell’indice) o di varianti diverse tali da configurarli come giochi autonomi. Nel primo caso è possibile che Filicaia avesse accesso al testo di Pacioli che conteneva tali giochi. Bisogna, tuttavia, sottolineare che, da una parte, i giochi “originali” sono relativamente pochi rispetto al numero totale e, dall’altra, che in quelli ripresi dai predecessori (in particolare nella parte aritmetica) l’impostazione spesso è molto differente.
Ecco i giochi non presenti nelle fonti:
Seconda parte: XV, XX, XXVI
Terza parte: I e XXVII
Quarta parte: VI
Inoltre, alcuni giochi che sappiamo simili e, probabilmente presenti nell’originale di De viribus quantitatis, sono assenti nell’unica copia del testo di Pacioli che è sopravvissuta. L’indice di De viribus ci permette di stabilire le corrispondenze. Nella tabella di corrispondenze preparata da Ulivi (Ulivi 2013: 256-257) tali giochi sono indicati con cifre arabe. Così troviamo nell’indice di Pacioli, ma non nel testo, i giochi corrispondenti a questi problemi del nostro trattato: XIII (parzialmente), XIV, XXI, XXII, XXIX della seconda parte e IX, X, XII, XVI, XVII, XIX, XX della terza parte.
Problemi presenti nell’indice di Pacioli, ma assenti nel testo del manoscritto sopravvissuto:
Tabella di giochi di Filicaia presenti solo nell'indice di DVQ di Pacioli
Problemi assenti sia nel corpo del trattato De viribus quantitatis sia nell’indice.
Tali problemi, non rintracciabili in nessun modo nelle fonti dirette del trattato di Piero da Filicaia sono solo 6.
Seconda parte:
Demostratio XV a giuchare a pari o caffo et non perdere servando certa conditione
Gioco chiamato “pari o caffo”, ma distinto dalla versione più popolare, cioè quella giocata mostrando e sommando le dita. Si tratta di un gioco che consiste nell’indovinare se il numero di oggetti presi dai giocatori è pari o dispari. Si tratta di oggetti che il secondo giocatore non vede. Come tale il gioco sarebbe soggetto alla casualità; una volta si indovina, altre volte no. Il modo per vincere il gioco (che di fatto annulla la casualità) è il gioco con il “testimonio”, cioè con il resto anticipatamente designato. Tale “testimonio” è costruito in modo che la scelta “caffo” (dispari) degli oggetti da chi li sceglie sia sempre quella giusta. Se quello con cui giochiamo non conosce il trucco, dopo al massimo un paio di giocate sbaglia e cominciamo a scegliere gli oggetti noi. In tal caso basta scegliere sempre il numero dispari di oggetti per vincere. Ovvio che un gioco di questo tipo può essere presentato al compagno di gioco solo una volta perché si accorge poi del trucco. In ogni caso, per vincere, è fondamentale convincere il compagno di gioco a modificare le regole per giocare con il resto (testimonio). Per fare ciò Filicaia suggerisce di appellarsi all’onestà e alla stabilità delle regole.
Meccanismo del resto (testimonio): giocatore A prende p.es. 3 oggetti (dispari). Il giocatore B dice che il numero delle monete è “caffo”. Come “testimonio” si mette da parte 1 oggetto tra quelli presi e così il numero degli oggetti risulta pari perché 3-1=2. Se il giocatore B dice “pari”, come “testimonio” si tolgono due oggetti, allora 3-2=1 (dispari), allora il giocatore B perde. Fin quando il giocatore A prenderà sempre il numero dispari di oggetti, vincerà ogni volta con questo meccanismo di “testimonio”.
Demostratio XX per la sopradecta regola a fare uno giuoco con le carti
Alla base di questo gioco stanno altri giochi descritti precedentemente in Filicaia e presenti anche in Pacioli (basati sulla disposizione in cerchio degli oggetti/numeri/carte). La versione in questa demostratio si basa sulle carte e ne costituisce una versione spettacolare che permette di raccogliere le carte tutte insieme in base al loro valore mentre esse rimangono coperte.
Filicaia propone la versione con 12 carte (48 in totale, ma 12 disposte in cerchio) e, oltre alla regola, si basa anche sull’abilità di nascondere la regola (p.es. mescolando le carte di diversi colori per confondere).
Filicaia descrive la versione con 48 carte. Il proponente fa il cerchio con le carte disponendole in ordine crescente da 1 a 12 (dall’asso al re). Distribuisce le rimanenti carte (36) ai compagni senza guardarle. Chiede al primo su che numero, cioè “posizione” (y) vuole posare la carta (numero deve essere superiore a 14). Il giocatore comunica al proponente la posizione (y), supponiamo che sia “18”. Supponiamo anche che la carta scelta sia 3 (x=3).
Ora il proponente, partendo da 1 (asso) in senso orario conta dal primo numero che supera la sua carta (da x+1) e arriva alla posizione y. Se la posizione è 18, come indicato prima, allora arriva a 5 e posa la carta. Ora chiede al giocatore di contare in senso antiorario a partire dalla posizione della carta (non più 1, ma 5), iniziando con il conteggio da x+1 e facendo il conteggio fino a 18. Con questo sistema arriviamo a posizionare la carta sopra la carta 3, cioè il nostro x. Il vero senso del gioco si basa sul fatto che x è preso in considerazione nella mossa che porta al posizionamento finale della carta e che prima il proponente sistema opportunamente la carta sulla base di y che gli viene comunicata. Possiamo esprimerlo nella maniera seguente:
x=-(y-x)+(y-(n+2))+(n+2)
per ogni y superiore a n+2
Il numero 14 che viene proposto in questo gioco è, come nei casi precedenti, il numero degli elementi in cerchio più due (n+2). Se tralasciamo n+2 la relazione è ancora più semplice
x=-(y-x)+y
Quindi per x=4 e y=20 (dove x è un incognita) e y è comunicato al proponente che posiziona opportunatamente la carta sulla base di y, avremo x=-(20-4)+20
Filicaia suggerisce l’iterazione del gioco (ognuno dei compagni ha diverse carte) in modo da posizionare tutte le carte dei compagni sopra i rispettivi valori (sopra 2 ci saranno 2, sopra 3 tutti i 3, eccetera sopra il re tutti i re).
Demostratio XXVI a fare omni puncto con 2 o 3 o 4 dadi a chiusi occhi
Il gioco dei dadi. Consiste nel lanciare i dadi a occhi chiusi in modo da ottenere un risultato prestabilito. Un lancio è eseguito ad occhi aperti. Nei lanci successivi si sfrutta il fatto che la somma dei numeri su ogni coppia di facce opposte del dado è sempre 7. Così si arriva al numero prestabilito cioè quello indicato dai compagni. Il gioco si basa chiaramente sulla destrezza del giocatore, serve la capacità di girare le facce piuttosto che fare un lancio regolare.
Terza parte
Caso I di uno corvo che voleva bere in canpagna
Si tratta di una ripresa della favola di Esopo della cornacchia e la brocca raccontata con molti particolari che rendano la narrazione molto vivace: la descrizione della mietitura nella campagna vicina a Roma, i dettagli delle brocche che utilizzavano, la convincente successione di tentativi che il corvo fa per arrivare all’acqua nella brocca. Alla fine l’Autore cerca di collegare il racconto alla matematica, giustificando la sua inclusione nella raccolta. Secondo le sue parole, il comportamento del corvo (o meglio, la procedura seguita dal corvo per alzare il livello dell’acqua nella brocca) sarebbe mathematico, cioè razionale o intelligente.
Caso 27 di uno altro modo di racorre
Esempio 1. Cominciamo dal numero 4, i numeri successivi si ottengono aggiungendo al numero dato la metà (quindi moltiplichiamo il numero per 3/2):
4+½ · 4 = 4 · 3/2 = 6
6+½ · 6 = 6 · 3/2 = 9
9+½ · 9 = 9 · 3/2 = 13½ ecc.
Il metodo proposto da Filicaia: per calcolare la somma dei numeri: 4 + 6 + 9 + 13½ bisogna moltiplicare il primo numero per 2 e sottrarre il risultato dall’ultimo numero moltiplicato per 3:
4 + 6 + 9 + 13½ = 3 · 13½ – 2 · 4 = 40½ – 8 = 32½
È un metodo corretto per sommare il numero finito dei termini consecutivi della successione geometrica di ragione 3/2.
Successione geometrica: indichiamo con a1 il primo termine della successione. Il termine successivo della progressione viene ottenuto moltiplicando il termine precedente con una costante stabilita q (la cosiddetta ragione della successione). Quindi i termini della successione sono i seguenti:
secondo: a2 =a1 · q
terzo: a3 = a2 · q = a1 · q2
quarto: a4 = a3 · q = a1 · q3
n-esimo: an = an-1 · q = a1 · qn-1
Formula per calcolare la somma per i primi n termini della successione geometrica
Indichiamo la somma con Sn :
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
allora (per q diverso da 1)
Sn = a1 · (q^n-1)/(q-1)
p.es. https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica oppure la voce “progressione geometrica" sempre su Wikipedia.
La formula può essere trasformata in un’altra (probabilmente meno comune):
Sn = q/(q-1) a_n-1/(q-1) a_1
La somma Sn può essere allora calcolata nel modo seguente: si deve moltiplicare il primo termine della successione che viene sommata per 1/(q-1) e sottrarre il risultato dall’ultimo termine, moltiplicato per q/(q-1)
Nel primo esempio q = 3/2, allora moltiplichiamo il primo termine per 1/(3/2-1) = 1/(1/2)=2 e l’ultimo termine per (3/2)/(3/2-1)=(3/2)/(1/2)=3.
Esempio 2. Iniziamo con a1 = 9, aumentiamo i numeri di 1/3, allora li moltiplichiamo per q = 4/3. nel nostro esempio abbiamo: a2 = 12, a3 = 16. La somma di una tale successione verrà calcolata moltiplicando il primo termine per 3, perché 1/(4/3-1) = 1/(1/3)=3 e sottraendo il risultato dall’ultimo termine moltiplicato per 4: (4/3)/(4/3-1)=(4/3)/(1/3)=4.
La somma S3 = 16 · 4 – 9 ·3 =64 – 27 =37.
Attenzione: se aumentiamo i numeri successivi di 1/k-esimo (k=2,3,4,5 ecc.), otteniamo la ragione q=(k+1)/k.
In tal caso: ((k+1)/k)/((k+1)/k-1)=((k+1)/k)/(1/k)=k+1
nonché 1/((k+1)/k-1) = 1/(1/k)=k.
Pertanto, la somma della successione verrà calcolata sottraendo il primo termine della successione, moltiplicato per k dall’ultimo termine, moltiplicato per k+1, così come nel testo originale: “sempre tu harai a multiplichare el primo termine per il numero della sua ascensione in questo caso et caveralo della multiplicatione del’ultimo termine in uno più che ’l primo”
Allora il nostro k costituisce “il numero della ascensione”. Nel testo è presente un altro esempio, ma senza che venga indicata una successione geometrica specifica:
Esempio 3. Se aumentiamo i numeri di ¼ del loro valore (k = 4, ragione q = 5/4), otteniamo la somma della successione geometrica, moltiplicando il primo termine della successione per k = 4 e sottraendo il risultato dall’ultimo termine, moltiplicato per k+1 = 5.
Quarta parte
Sexta investigatio altro modo a misurare una torre
Sebbene in Alberti ci sia un problema simile, si tratta di impostazione e soluzione diversa in Filicaia. Sembrerebbe quasi che Filicaia sopperisse a qualche lacuna del testo dei Ludi, prelevando da qualche altra fonte il metodo diverso per ottenere lo stesso risultato, cioè il calcolo dell’altezza di una torre. La versione qui fornita è quella più diffusa risultante dal teorema di Talete. Il procedimento consiste nel misurare l’ombra della torre (CB) e l’ombra di una asta (DC) per poi successivamente, conoscendo l’altezza dell’asta (DE), confrontare i valori. Come è noto (“Dicono dunque li antiqui scriptori che tale sarà DC ad DE quale sarà BC ad BA”), il rapporto tra DC e DE equivale al rapporto BC a BA. Filicaia non lo precisa, dicendo di non averlo mai fatto di persona, ma possiamo immaginarlo così: l’ombra della torre è lunga 44 metri mentre quella dell’asta (lancia) è lunga 2 m. L’asta è alta 1 m. Dobbiamo conoscere l’altezza della torre che sarà la nostra incognita x. Dal rapporto predetto deduciamo che 2x=1·44 allora x=(1·44)/2. Quindi, la torre è alta 22 metri.